—— 一道题引起的思考
数学组 李 震
利用导数求函数的单调性，解关于不等式的恒成立问题进而求参数的值，是近几年的高考常考题型，经久不衰。恒成立问题是高考考查的重点内容，同时也是大多学生所困惑的难点内容。本文借助对例题及其三种易混变式的讲解，希望能够给予学生在解决此类恒成立问题时提供帮助。
例题：已知函数f(x)= x3-3ax+b(a,bR)在x=2处的切线方程为y=9x-14.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)令g(x)= -x2+2x+k，若对[0,2]，均[0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求实数k的取值范围。
[解析](1)，有f(x)在x=2处的切线方程为y=9x-14，
∴则解得
∴f(x)= x3-3x+2，则=3x2-3=3(x+1)(x-1).
由，得x<-1或x>1；由,得-1<x<1.
故单调递减区间是(-1,1)；单调递增区间是(,-1)和(1,).
(2)对[0,2]，均[0,2]，使得f(x1)<g(x2)成立，即f(x)max<g(x)max.
由(1)知，函数f(x)在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增.又f(0)=2,f(2)=4,有f(0)<f(2)
∴函数f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(2)=4.
又g(x)=-x2+2x+k=-(x-1)2+k+1
∴函数g(x)在[0,2]上的最大值g(x)max =g(1)=k+1.
∵有f(x)max<g(x)max，则4<k+1,∴k>3.
[点评]本题的难点在于第(2)小题中对“若对[0,2]，均[0,2]，使得f(x1)<g(x2)”这个已知条件的理解，很多同学是丈二和尚摸不着头脑，主要是理不清“任意”与“存在”之间的内在关系。我们不妨将这个已知条件从两个层面来分析，（1）先将g(x2)看做已知量，对[0,2]有f(x)<g(x2)等价于f(x)max<g(x2)，(2)再将f(x1)看做已知量，若[0,2]，使f(x1)<g(x)等价于f(x1)<g(x)max通过从这两个层面的分析不难理解出：若对[0,2]，均[0,2]，使得f(x1)<g(x2)f(x)max<g(x)max.
在原题的基础上，现对第(2)小题进行以下三种变式，以帮助学生对此类题型更深刻的理解。
变式一：令g(x)=-x2+2x+k，若对[0,2]和[0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求实数k的取值范围。
[解析] 对[0,2]和[0,2]，使得f(x1)<g(x2)f(x)max<g(x)min
由（1）知，函数f(x)在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增.又f(0)=2,f(2)=4，有f(0)<f(2)
∴函数f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(2)=4
又g(x)=-x2+2x+k=-(x-1)2+k+1
∴函数g(x)在[0,2]上的最小值g(x)min=g(0)=g(2)=k
∵有f(x)max<g(x)min则4<k.
变式二：令g(x)=-x2+2x+k，若对[0,2]和[0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求实数k的取值范围。
[解析] 对[0,2]和[0,2]，使得f(x1)<g(x2)f(x)min<g(x)min
函数f(x)在[0,2]上的最小值f(x)min=f(1)=0
又函数g(x)在[0,2]上的最小值g(x)min=g(0)=g(2)=k
有f(x)min<g(x)min则0<k.
变式三：令g(x)=-x2+2x+k，若对[0,2]且[0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求实数k的取值范围。
[解析]若[0,2]且[0,2]，使得f(x1)<g(x2)f(x)min<g(x)max
函数f(x)在[0,2]上的最小值f(x)min=f(1)=0
函数g(x)在[0,2]上的最大值g(x)max =g(1)=k+1
有f(x)min<g(x)max则0<k+1，∴-1<k.
通过上述例题及三种变式的讲解起到了举一反三的效果，让学生真正理清了“任意”与“存在”之间的内在关系，希望同学们在平时的学习中要多思考、多总结。
（祝志好老师 编审）
