河西校区数学组 杨勇
前几天恰逢笔者所在学校两位老师举行公开课，所授课题为人教A版选修2-3中第二章第四节《正态分布》，从结果来看两位老师均基本完成本节课的任务，但从过程来看，教师不知道为什么教这节课，学生不知道为什么学习本节课，导致课堂氛围沉闷，教师抛出的问题犹如石沉大海，最后形成教师讲得激情澎湃，学生听得云里雾里的局面。课后，不少老师均反映本节课难教，其原因在于知识点的枯涩难以理解以及前后关联不强，总感觉本节在本章中的出现就像帽子里突然蹦出的兔子。教材主编章建跃博士曾经提出三个理解——理解数学、理解学生、理解教学，并且提出这三个理解的顺序不能颠倒，只有正确地理解数学，才能构建高效的课堂，否则只会是竹篮打水一场空。课后笔者又重新仔细地翻看教材，研读教参，下面从三个方面谈谈笔者对本节课的浅显认识。
一、“正态分布”的地位和作用
1.从学科特点的角度来看
概率的主要内容用数学角度分析生活中的随机现象，但是生活中的随机变量绝大多数都是连续的而并非离散的，如身高、体重、纤维的纤度、电容器的电容量……“正态分布”则正好是连续型随机变量的一种重要模型，正态分布的学习可以帮助学生客观地分析生活中的现象，做出正确的判断和决策。
2.从知识发展的角度来看
一方面，前面已经学习了离散型随机变量的分布列和期望方差，从知识的完整性而言，“正态分布”的学习有其必要性；另一方面，前面已经学习了二项分布，而正态分布与二项分布有着密不可分的关系，为高等数学中的中心极限定理提供基础。
3.从学生发展的角度来看
对正态分布定义及正态曲线的研究有利于培养学生观察、分析、抽象概括、推理论证、数形结合等数学能力，有利于培养学生严谨的数学态度和思维习惯。教学时应立足于引导学生自己提出要研究的问题、确定研究的方法、评价研究的成果、完善研究的过程，以促进学生发展的最大化。
二、关于引入
1.教材分析
教材中是以高尔顿板的实验作为引入的，这样的引入固然能引起学生的兴趣，为课堂增添活力，但是从本节课的内容特点来看，本节课所要学习的主要是连续型随机变量的分布情况，而高尔顿板的实验结果却是离散的——小球最终所落下的位置仅仅在有限个隔板之间，这难免会让学生纠结其是否为二项分布。后面教材中以球槽的编号为横坐标，做频率分布直方图来衬托“连续性”未免显得有些牵强。可能教材中的处理是从知识的本质出发，由概率论的知识可知，中心极限定理阐述了n重伯努利实验中，当n→+∞时二项分布会逼近于正态分布，通过高尔顿板的实验可以形象的解释二者之间的关系。但是从两位教师的课堂教学效果来看，并不理想，这样的引入并没有遵循数学知识的螺旋上升，课堂教学应立足于学生的最近发展区，所谓“跳一跳摘个桃”，以必修三统计章节中的总体密度曲线作为知识的立足点，教师合理的搭建支架，通过适当的问题引导学生探索发现，相信可以取到意想不到的效果。
2.引入设计
师：前面我们已经学习了离散型随机变量及其分布列，有哪些比较典型的分布列？
复习回顾，学生集体回答。
师：生活中有无非离散型随机变量即连续型随机变量的例子呢？
生：人的身高，体重、电灯的寿命、产品的尺寸……
师：以人的身高为例，某人的身高正好是175cm可能吗？为什么？
生：不可能，因为可能是175.000001cm（众生笑）
师：连续型随机变量的特征是在某区间内，取到任一点的概率均为0，所以我们更多的是研究其在某个子区间内的概率大小，那么如何研究呢？比如我们如何近似得到某人身高在[163,167]（单位：cm）的概率呢？在前面的统计章节中有没有学习过相关知识呢？
若学生在这里遇到困难，教师可以适当引导。
通过已经统计的数据，利用计算机画出频率分布直方图，当样本容量逐渐增大时，将每个矩形上底的中点连起来可得到总体密度曲线。
师：总体密度曲线有哪些特征？在某区间[a,b]内的概率可用什么来代替？
学生回答，教师指正。
师：当总体密度曲线对称，且是（或近似的是）下面函数的图像：
其中实数和（>0）为参数，我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
三、关于定义
1.定义的得出
对于本节课的定义许多教师感觉不好处理，往往都是直接给出，有的甚至直接跳过，定义的教学核心是归纳概括，关键在于教师提出好的问题，引导学生观察总结，其实联系前面已经学习过的超几何分布和二项分布，不难发现其中的规律:
超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则则称随机变量X服从超几何分布。
二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次事件A发生的概率为p，则p（x=k）=cknpk(1-p)n-k，k=0,1,2,……，n，则称随机变量X服从二项分布。
正态分布的定义形式与超几何分布、二项分布一样，均是利用概率的公式来定义，在某区间内的概率总体密度曲线中已经总结，只需要用符号化的公式进行表达即可，教师可以通过适当的引导，使学生观察归纳总结出定义水到渠成！
2.定义的挖掘
定义得出之后要提醒学生，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素之和，它就服从或近似服从正态分布。然后教师一定要总结引例中为什么人的身高服从正态分布，因为身高受遗传、环境、饮食、锻炼时间等等各种不同的独立因素决定的，生活中服从正态分布的例子很多，可以让学生总结回答，让学生感受到正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中，在概率和统计中占有重要的地位。
另外，定义的旁边一栏中提到了高斯在正态分布研究中的贡献，这是渗透数学文化的好机会，教师可以简单介绍高斯的生平：我国数学大师陈省身把黎曼和庞加莱称为数学家中的菩萨,而称自己为罗汉;高斯是黎曼的导师,有些教授把高斯称为数学家中的佛。在数学家中既能仰望理论数学的星空, 又能脚踏应用数学的实地的可不多见, 高斯是数学家中少有的顶“天”立“地”的人物,他既对纯理论数学有深刻的洞察力,又极其重视数学在实践中的应用。
高斯在数学上的贡献特别多, 去世前他要求给自己的墓碑上雕刻正十七边形, 以说明他在正十七边形尺规作图上的杰出工作。而后世的德国钞票上是以正态密度曲线来纪念高斯,这足以说明高斯的这项工作在当代科学发展中的分量。
四、关于正态曲线的性质
教材中给出了正态分布曲线的6个性质，其中前3个性质在教学的过程中应从形和数两方面入手，先让学生从正态分布曲线的图形中总结，然后再从函数的角度加以论证，教师不能顾此失彼，只是一味地从图像中观察而忽略从解析式的角度去分析性质。后2个性质主要是论证u和σ对图像的影响，教材中——包括许多教师的处理——是采用“控制变量法”，先让某个参数固定，变动另一个参数，利用计算机观察其对图像的影响，总体效果不错，但是笔者认为，如果在此基础上,从这两个参数本身的意义出发加以解释的话,效果会更好。事实上,u和σ分别是正态变量的均值和标准差,而均值又与正态曲线的对称轴有关,因此u的变化必然引起曲线对称输的变化,也就是使曲线的位置移动；f变大,说明数据的标准差变大,也就是集中程度减小。因此曲线肯定变得“矮胖”；f变小,说明数据的标准差变小,也就是集中程度增强。因此曲线肯定变得“高瘦”。不难看出,这一结论具有广泛性,把其应用到频率分布直方图判断近似均值和方差的大小也非常有效。
新课程强调的数学课堂是“自然的”，数学知识的呈现方式要自然，教学过程的设计要自然，不能局限于教教材，而是用教材教，教师只有充分地研读教材，理解教材，进而理解数学，才能设计出符合学生认知规律的“自然”课堂。
（祝志好老师 编审）
