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“平面几何中的向量方法”教材分析与教学设计

数学组   杨兴军


 

“平面几何中的向量方法”是高中数学人教A版必修4(以下简称“教材”)《2.5 平面向量应用举例》第一课时的内容。从实际教学来看,不少教师对本节课不够重视,通常只是简单地讲解几道例题、布置几道练习,让学生“了解、感受”向量法是解决平面几何问题的另一种方法,缺乏对教学目标任务的深刻理解和准确把握,表现出较大的随意性。现将笔者的教学分析与设计概述如下,与同行交流。

1   教材分析

中学教材中的向量,其几何背景是有向线段,但二者有所区别:向量,无需考虑起点的绝对位置,它是可以“自由平移”的,这就大大方便了向量之间的相互转化,使向量的运算成为现实。正如“教材”中所说:因为有了运算,向量的力量无限;如果不能进行运算,向量只是示意方向的路标。也正是基于向量所具有的几何背景及其强大的运算功能,才使得向量方法成为解决几何问题的重要途径,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,具有一定的优越性,教学时应引导学生加以体会。

用向量方法解决平面几何问题,是RMI原理应用于数学领域的典型体现。RMI(relation  mapping  inversion)原理即“关系-映射-反演”原理,它是一种以联系的观点、通过寻找恰当映射实现化归的问题解决策略,属于较高层次的化归。在高中数学中,对数法、向量法、复数法、解析法、参数法、换元法、变换法等,都是RMI原理的具体应用。具体到本节课,即是将平面几何中元素之间的关系“映射”为平面向量之间的关系,然后将向量运算的结果“反演”为几何结论,这样,就解决了原有的平面几何问题。“教材”中给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,实际上就是RMI原理的思维过程。RMI原理的应用,可以锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性。

本节课的“教材”内容,主要由下面两道例题构成:

1  平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图1,

,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?

 

 

1

图1

 

 

 

 


 

例2  如图2,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?

 

 

 


 

对于例1,本应由学生合理选择基向量并用其表示其它相关的几何元素,然而,“教材”在题设部分就直接给出了向量 的表达式,有越俎代庖之嫌。另外,例1的问题设计,虽然具有一定的开放性,但是指向性不强,学生考虑的可能是等量关系,也可能是不等关系;加之学生用传统几何方法有较大困难,对向量方法尚不熟悉,容易导致探究活动效率低下。因此,笔者认为,不能完全按“教材”的方式呈现与处理例1,必须进行适当的教学法加工。

对于例2,“教材”给出的向量解法较为繁琐。事实上,由 ,又 ,所以由“算两次”思想及平面向量基本定理可得 ,即点R为AC的三等分点,同理点T为AC的三等分点,得解。但即便如此处理,绝大多数学生仍然认为利用传统几何中的相似三角形更为简便、习惯,未能凸显向量法的优势。因此,笔者认为,应另行选择典型的例题来代替例2,以有利于本节课教学意图的实现。

2   教学设计

在义务教育阶段,学生主要是利用综合法研究平面几何,通过演绎推理获得几何结论,经常需要作辅助线、构造图形,规律性不强、难度较大。因此,本节课的教学,应着力于培养学生的“向量意识”——用向量的“眼光”理解几何问题中的条件和结论、用向量的“手段”进行“推理论证”;应适时对比,让学生充分体验到向量法解决几何问题的优势,增强学习新知的主动性和积极性;应及时引导学生总结、提炼,并在以后的教学中寻找时机以继续强化向量的工具作用、不断完善学生的认知结构,避免出现向量法在学生脑中“昙花一现”、“雁过无痕”的结果。

教学目标

初步掌握并总结归纳以向量和向量的运算为工具研究几何元素及其关系的方法(常用的是基向量法和坐标法),体会向量方法的优越性;通过用向量方法解决平面几何问题的探索,加深对向量知识的理解,感悟其中蕴含的等价转化与化归的思想方法,发展学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

教学过程

设计1:突显“障碍”,激发求知欲,引入课题

上课伊始,教师出示一道平面几何题:

例题:如图3,在正方形ABCD中,设点P是对角线AC上任意一点,PE AB于E,PF BC于F,请问,直线DP与直线EF的位置关系如何?试证明你的结论。

 

 

 

 

 


 

教师让学生根据题目条件,结合图形猜想结论,进而尝试用几何知识证明自己的猜想。当学生一时难以找到思路时,教师指出:“几何中的线段,一旦有了方向,它就成为一个向量;我们可以用向量的眼光去看待几何元素,用向量方法解决几何问题。”(板书课题)

设计意图:从一道看似并不复杂的平面几何问题入手,学生不难猜想出结论,可是用传统的几何方法很难证明。当学生处于“愤悱”状态时,自然点明本节课的教学主题。

设计2:降低“起点”,回归“经典”,初识“向量法”

在解决例题之前,先看初中学过的两个经典定理(PPT展示,包括几何证法):

(三角形中位线定理)如图4, ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,求证:

DE∥BC,且DE BC。

(勾股定理)如图5, ABC中, ,求证:

 

 

 

 


 

教师提出:你能借助向量知识证明这两个定理吗?引导学生思考:

问题1:你能用向量把这两个定理的条件和结论分别表示出来吗?

以“三角形中位线定理”为例,条件是: ,结论是

问题2:请仔细观察结论中的向量与条件中的向量之间的内在联系,借助向量运算证

明定理。

以“三角形中位线定理”为例,

问题3:比较每个定理的几何证法与向量证法,你有什么体会?

设计意图:学生一开始对向量工具较为陌生,因此,需要通过低起点、渐进式的问题引导学生的思维。“三角形中位线定理”与“勾股定理”是学生非常熟悉的平面几何经典定理,其向量证法简单明了、互补性强(涵盖了向量的线性运算与数量积运算)、与几何证法对比鲜明,有利于帮助学生形成初步的“向量意识”、“向量眼光”与“向量思维”,为例题的顺利解决奠定基础。

设计3:层层引导,探究例题,再识“向量法”

现在,我们尝试用向量方法探究例题.

问题4:你能分别用向量刻画例题中DP与EF可能的位置关系吗?

 学生思考、交流、讨论,得出:“DF∥EF”与“ ”对应,“DP、EF相交”与“ 不共线”对应,其中,“DP EF”与“ ”对应,“DP、EF相交但不垂直”与“计算 的夹角”对应。

问题5:为了便于探究向量 的内在联系,该如何处理?

教师引导学生根据平面向量基本定理,选择合适的基向量,将向量 分别用基向量表示出来,体现了“转化与化归”的数学思想方法。

多数学生可能习惯于选择 作“基底”,教师应指出:也可以选择 作“基底”,设 ,其中 ,从而有

问题6:从上述向量 的表达式分析,它们的“位置关系”究竟如何?为什么?

首先排除“平行”(若平行,则 且有 ,矛盾。),从而确

定是“相交”关系;然后利用数量积运算得出结论: ,即DP EF。

问题7:对于向量 ,除了利用“基向量”进行转化以外,还有没有其它的转化方式?

引导学生回忆起向量的坐标表示及坐标运算,通过建立直角坐标系来表示向量 ,可使向量的运算更加简便(具体从略)。

问题8:用向量法求解平面几何问题,通常有哪些步骤、方法?

师生共同归纳,得出:(1)向量法解决平面几何问题的“三步曲”:几何元素向量化→向量运算关系化→运算结果几何化;(2)几何元素转化为向量的途径:基向量法和坐标法。

教师可进一步指出:由平面向量基本定理可知,两个不共线向量就能够表示出平面上任意一个几何元素,从而可将“凌乱”的几何对象变得有条理,使思维指向更加明确;加之向量运算兼具几何与代数的双重功能,这就使得几何图形中的平移、共线、垂直、相似、距离、角度等都可以通过向量的线性运算与数量积运算表示出来,可以降低思考的难度,正所谓“向量因运算而力量无限”。

设计意图:通过“问题串”的层次性引领,使学生经历一次完整的用向量法求解几何问题的思维过程,初步掌握用向量法求解几何问题的方法程序,体会到向量作为一种工具的应用价值以及其中所蕴含的数学思想。平面向量基本定理是用向量表示几何元素的理论基础,向量运算则是几何元素中“已知”与“未知”的联系纽带,保证了“三步曲”的合理性、有效性,教师应适时加以提炼、升华。

设计4:独立思考,尝试应用,巩固“向量法”

课堂练习1:如图6,在平行四边形ABCD中,已知边AB=m、AD=n,对角线AC=p,求对角线B的长。你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间满足什么样的等量关系吗?

课堂练习2:如图7,在 HAB中, H=900 ,HB=4,C、D分别为HA、HB的中点,求两直角边中线所成钝角的余弦值。

 

 

 


 

学生独立作答,教师巡视指导,并对学生的解答情况进行点评(此处从略。“练习1”答案: ;平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2

倍。“练习2”答案: )。

课后练习:如图8,设点G为 ABC的重心,过点G作一条直线,分别交边AB、AC

于点D、E,设AD= AB,AE= AC,求 的值。

 

 

 

 

(提示:可先利用特殊化猜想出结果,然后证明:设 ,则

从而 ,由 ,所以 ,化简得 。)

设计意图:“课堂练习1”求解的是长度问题,它是将教材例1适当改编后得到的,改编的主要目的是避免在题目中直接将几何元素用“基向量”表示出来,而是让学生自主思考选择;同时,改编后的求解目标也显得更为明确。“课堂练习2”求解的是角度问题,学生可以选择“基向量法”或坐标法,根据向量的夹角公式算出结果。由于学生之前没有学过余弦定理,因此,这两个课堂练习用向量法处理比用几何法要简单得多,可以进一步提升学生运用向量知识解题的意识与能力。“课后练习”则是“动中求定”,训练学生从向量的角度认识和处理共线问题,体现了特殊到一般思想、方程思想、等价转化思想等。

课堂小结、作业(略)

(祝志好老师编校)

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发布时间:2015-04-02 16:05:19
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