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求 同 存 异

 

—— 一道题引起的思考

数学组   李 震


利用导数求函数的单调性,解关于不等式的恒成立问题进而求参数的值,是近几年的高考常考题型,经久不衰。恒成立问题是高考考查的重点内容,同时也是大多学生所困惑的难点内容。本文借助对例题及其三种易混变式的讲解,希望能够给予学生在解决此类恒成立问题时提供帮助。

例题:已知函数f(x)= x3-3ax+b(a,bR)在x=2处的切线方程为y=9x-14.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)令g(x)= -x2+2x+k,若对[0,2],均[0,2],使得f(x1)2),求实数k的取值范围。

[解析](1),有f(x)在x=2处的切线方程为y=9x-14,

∴则解得

∴f(x)= x3-3x+2,则=3x2-3=3(x+1)(x-1).

由,得x<-1或x>1;由,得-1

故单调递减区间是(-1,1);单调递增区间是(,-1)和(1,).

(2)对[0,2],均[0,2],使得f(x1)2)成立,即f(x)maxmax.

由(1)知,函数f(x)在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增.又f(0)=2,f(2)=4,有f(0)

∴函数f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(2)=4.

又g(x)=-x2+2x+k=-(x-1)2+k+1

∴函数g(x)在[0,2]上的最大值g(x)max =g(1)=k+1.

∵有f(x)maxmax,则43.

[点评]本题的难点在于第(2)小题中对“若对[0,2],均[0,2],使得f(x1)2)”这个已知条件的理解,很多同学是丈二和尚摸不着头脑,主要是理不清“任意”与“存在”之间的内在关系。我们不妨将这个已知条件从两个层面来分析,(1)先将g(x2)看做已知量,对[0,2]有f(x)2)等价于f(x)max2),(2)再将f(x1)看做已知量,若[0,2],使f(x1)1)max通过从这两个层面的分析不难理解出:若对[0,2],均[0,2],使得f(x1)2)f(x)maxmax.

    在原题的基础上,现对第(2)小题进行以下三种变式,以帮助学生对此类题型更深刻的理解。

变式一:令g(x)=-x2+2x+k,若对[0,2]和[0,2],使得f(x1)2),求实数k的取值范围。

[解析] 对[0,2]和[0,2],使得f(x1)2)f(x)maxmin

由(1)知,函数f(x)在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增.又f(0)=2,f(2)=4,有f(0)

∴函数f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(2)=4

又g(x)=-x2+2x+k=-(x-1)2+k+1

∴函数g(x)在[0,2]上的最小值g(x)min=g(0)=g(2)=k

∵有f(x)maxmin则4

变式二:令g(x)=-x2+2x+k,若对[0,2]和[0,2],使得f(x1)2),求实数k的取值范围。

[解析] 对[0,2]和[0,2],使得f(x1)2)f(x)minmin

函数f(x)在[0,2]上的最小值f(x)min=f(1)=0

又函数g(x)在[0,2]上的最小值g(x)min=g(0)=g(2)=k

有f(x)minmin则0

变式三:令g(x)=-x2+2x+k,若对[0,2]且[0,2],使得f(x1)2),求实数k的取值范围。

[解析]若[0,2]且[0,2],使得f(x1)2)f(x)minmax

函数f(x)在[0,2]上的最小值f(x)min=f(1)=0

函数g(x)在[0,2]上的最大值g(x)max =g(1)=k+1

有f(x)minmax则0

通过上述例题及三种变式的讲解起到了举一反三的效果,让学生真正理清了“任意”与“存在”之间的内在关系,希望同学们在平时的学习中要多思考、多总结。

                                                    (祝志好老师  编审)

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发布时间:2014-05-09 09:35:47
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