浅谈数学模型在高中生物教学中的应用

生物组　张曼

生物学科中经常要运用数学方法来研究生命现象和阐述生物的生命活动规律，这就需要建构数学模型。数学模型通常用适当的数学形式（如数学方程式、关系式、曲线图和表格等）来表达相关生物学问题，并能依据构建的模型作出判断和预测，解决某些实际问题。

　　一、建构数学模型的一般步骤

观察研究对象，提出问题

↓

提出合理的假设

↓

构建数学模型，用适当的数学形式对事物的性质进行表达

↓

对模型进行检验或修正

　　具体地说，建立数学模型的过程，就是一个从具体的生命现象或生命活动规律建立抽象的数学模型的过程，同时也是用抽象的数学模型来解释具体的生命现象和规律的过程。通过对数学模型的建构和运用，能帮助学生化繁为简，分析问题的本质，形成解题方案，帮助学生降低解题难度，提高解题的正确率。

　　二、实例说明

　　下面通过一些实例来说一说数学模型在生物学问题中的应用：

　　（一）孟德尔遗传定律中的相关数学模型应用

　　提出问题：如考虑n对等位基因控制的生物性状，取F1自交得F2，则F2的基因型和表现型的比例是多少？

　　提出合理的假设：如果这n对等位基因的分离和组合是互不干扰的，那么每一对等位基因的分离是遵循基因的分离定律，而非等位基因则自由组合，遵循基因的自由组合定律。已有实验数据告诉我们1对相对性状的杂交实验中，F2表现型比例为3∶1，基因型比例为1∶2∶1；2对相对性状的杂交实验中，F2表现型比例为9：3：3：1。从这些事实，我们可以引导学生分析，9：3：3：1与3∶1的数量关系——已有的数学经验会让学生们很快找出9：3：3：1=（3∶1）2，再结合实验结果中的统计学数据，我们可以进一步引导学生发现，在两对相对性状的杂交实验中，如果单对一个性状、一对等位基因分析的话，每一对性状仍然符合孟德尔分离定律，两对性状在一起符合自由组合定律，从计算上可以看做是每对基因单独分析所得结果的乘积。

　　以此构建数学模型：如果是n对相对性状的杂交实验题，且题目已知这n对等位基因的分离和组合是互不干扰的，则F2表现型比例是（3∶1）n，基因型的比例是（1∶2∶1）n 。每种表现型及基因型的概率计算也可借鉴此模型加以构建。我们把其总结为乘法原理：即先计算每一对等位基因杂交后所得表现型、基因型的比例、概率，再将各对计算结果相乘，就可得子代相应数据。

　　检验和修正：最后，我们仍需引导学生通过进一步的实验观察等，对模型进行检验或修正。

　　以下是构建的基因的自由组合规律的图表模型(表中各对等位基因的遗传符合自由组合定律，且显隐性关系为完全显性)。

【例1】亲本为拥有5对性状的纯合子AABBccDDee和aabbCCddee，进行杂交试验，则F2代中基因型有几种？表现型有几种？

　　解析：根据亲本基因型，可得F1为AaBbCcDdee，5对基因中，有一对是纯合的，自交后代此基因仍是纯合的，那么只考虑前4对等位基因即可。根据数学模型，我们可以得到每对等位基因杂交结果为表现型2种，比例为3∶1，基因型有3种，比例为为1∶2∶1。所以4对等位基因杂交后，可得F2代表现型有24种，比例为（3∶1）4；基因型有34种，比例为（1∶2∶1）4种。F2代中可得AABbCcdd的概率为1/4*1/2*1/2*1/4=1/64。

　　【例2】 具两对相对性状的两纯合亲本杂交，得F1后再自交所得的F2表现型若为9∶6∶1，9∶3∶4，15∶1，则F1测交所得的后代表现型的比例依次为

　　　　　　　　　　　　　　　。

　　解析：根据题意，满足自由组合定律，符合模型假设，运用数学模型，则F2的表现型为（3∶1）2 =9∶3∶3∶1，F1测交后代出现4种表现型且比例为1∶1∶1∶1。可将题中信息进行变形，与模型建立联系：自交后代比例依次变形为9∶(3+3)∶1，9∶3∶(3+1)，(9+3+3)∶1；则测交后代表现型比例也可做相应变形后可得：1∶(1+1)∶1，1∶1∶(1+1)，(1+1+1)∶1。则正确答案为：1∶2∶1，1∶1∶2，3∶1。

　　（二）有关于群体中随机交配时基因频率变化的数学模型建构：

　　先给学生一事例，在教师引导下，自己计算并完成以下表格。在某昆虫种群中，决定翅色为绿色的基因为A，决定翅色为褐色的基因为a，从这个种群中随机抽取100个个体，测得基因型为AA、,Aa和aa的个体分别是30、60和10个。理想条件下，种群内雌雄个体自由交配得到子一代。引导学生用数学方法计算讨论亲代基因频率、基因型频率和子代基因频率、基因型频率的变化，并将有关数据填入下表，最后根据表格内容总结出基因频率的变化规律。

　　在一定的数学基础上，学生很容易完成以下表格：

　　亲、子代之间基因频率与基因型频率的变化关系

　　对此现象建立数学模型：

　　观察研究对象，提出问题：自然界中种群基因频率的变化规律是如何？

　　此现象在理想条件下发生：①种群非常大；②所有的雌雄个体都能自由交配；③没有迁入和迁出；④自然选择对这一相对性状的个体没有选择作用；⑤这对等位基因都不发生突变。

　　提出合理假设：理想条件下，每一代种群内个体自由交配，基因频率不变。

　　构建数学模型：后代的基因频率不发生改变，满足哈迪－温伯格定律。此条件下基因型频率与基因频率的关系如下

　　P(AA)=P(A)2，P(Aa)=2*P(A)*P(a)，P(aa)=P(a)2。

　　最后通过进一步的实验观察等，对模型进行检验或修正。

　　【例1】某小岛上原有果蝇20000只，其中基因型VV、Vv和vv的果蝇分别占15%、55%和30%。若此时从岛外入侵了2000只基因型为vv的果蝇，且所有果蝇均随机交配，则F1代中v的基因频率约是（　）

　　a、43%         b、48%　  　c、52%            d、57%

　　解析：未入侵前VV个体有3000，Vv个体11000，vv个体6000，入侵后vv变为3000+2000=5000，其它类型个体不变，总数变为22000，并且所有果蝇均随机交配，满足哈迪－温伯格定律，F1中v基因频率不变，则v基因频率为（5000�2+11000）/（22000�2）。答案选B。

　　【例2】已知果蝇的灰身和黑身是一对相对性状，基因位于常染色体上，将纯种的灰身果蝇和黑身果蝇杂交，F1全为灰身；让F1自由交配产生F2，将F2中的灰身果蝇取出，让其自由交配，后代中灰身果蝇和黑身果蝇的比例为            

　　解析：由题意可知，灰身A为显性，黑身a为隐性。亲本为灰身AA和黑身aa，F1全为Aa，F1自由交配可得F2：1/4AA、1/2Aa、1/4aa，表现型为3灰身：1黑身。依据数学模型，满足哈迪－温伯格定律，后代的基因频率不发生改变。F2代灰身果蝇中，AA占1/3，Aa占2/3，,基因频率为P(A)=P(AA)+ 1/2*P(Aa)=2/3，P(a)=1-P(A)=1/3，则取F2代中灰身果蝇让其随机自由交配后，子代中P(AA)=P(A)2=4/9，P(Aa)=2*P(A)*P(a)=4/9，P(aa)=P(a)2=1/9，所以后代中灰身果蝇与黑身果蝇的比例为8：1。

　　三、学生在应用数学模型时应注意的问题：

　　在实际应用数学模型解题的过程中，学生往往只记得数学表达式，而忽略“模型假设”，即模型成立的条件。如前面所说的实例中，第一个必须是n对等位基因的分离和组合互不干扰（这n对等位基因分别位于非同源染色体上）且F2应该是由F1自交产生才可；第二个关于哈温定律的应用——亲子代之间基因频率不变，则必须满足以上5个理想条件，即达到遗传平衡。所以应该提醒学生关注模型成立的条件，审清题意。

　　另外，要让学生注意对数学模型的分析。如：在必修一中有关酶的内容，必修三中有关种群增长的数量变化等，曲线图得到了很好的应用。根据实验并统计实验数据，可画出相应的曲线图，构建数学模型。从曲线图中，学生们可以直接分析出温度、PH值对酶活性的影响，并联系横坐标看出最适温度和最适PH值；同样，从曲线图中，学生们可以直接分析种群增长时数量的变化情况。

　　【几种曲线图】

　　分析：温度过高，酶会失活；温度过低，酶活性大大降低；每种酶都有其自己作用的最适温度。

 分析：PH过高或过低，酶都会失活；每种酶都有其自己作用的最适PH。

 　　分析：理想条件下，种群数量呈现“J”

　　型增长；在实际自然界中由于环境阻力的存在，种群数量大多呈现“S”型增长，有环境容纳量。

 　　建立数学模型可以把抽象问题具体化、解题过程规律化，能提高答题的准确性，能有效缩短答题的时间，是解决高中很多生物学问题的有效方法。在生物教学中引导学生把数学模型运用好，不仅有利于学生分析和解决问题，而且能有效提高学生的生物科学素养，可达到举一反三的教学效果。

（李道兵老师编审）