新课标全国卷文科数学与安徽卷的比较分析

数学组    李 震

安徽省高考从2006年开始自主命题，至今已有9年了。如今据悉，从2016年开始安徽省高考将加入全国统一命题的队伍中，这对于安徽省的考生来说，这既是挑战也是机遇。那么作为老师更应该提前预知高考改革的方向，把握高考改革的特点。

　　由于安徽高考政策的变化，以后安徽高考文科数学用卷会逐步过渡到使用新课标全国卷。那么新课标全国卷与安徽卷有什么样的区别和联系呢？作为一线教育工作者的我们将要做好怎样的准备？下面我将借助近五年的新课标全国卷和安徽卷文科数学进行比较分析，希望能给大家一点启发和帮助。

　　一、题型题量的变化

　　新课标全国卷文科数学由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，分值共150分。第Ⅰ卷共有选择题12题，每题5分，共60 分。第Ⅱ卷由填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第21题）、选考题（第22题~第24题）三部分构成。填空题共4题，每题5分，占20分；解答题共5题，每题均为12分，占60分；选考题共3题，每题10分，考生可在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，占10分。第1题~第21题为必考题，第22题~第24题为选考题。

　　新课标全国卷与安徽卷比较，无论是从题量还是题型上都有了很大的变化。选择题由10题增加到12题，填空题由5题减少到4题，解答题由6题减少到5题。最大的特点是新课标全国卷还有3题选考题，考生可三选一解答，这让学生有了更多的自主选择空间。

　　二、考试内容的变化

　　新课标全国卷包括必考内容和选考内容两部分，必考内容为《课程标准》的必修1~必修5内容和选修1-1，选修1-2内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4-1“几何证明选讲”，4-4“坐标系与参数方程”，4-5“不等式选讲”3个专题。

　　与安徽卷比较，必考内容主要还是以函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量，数列，立体几何，解析几何，概率与统计，不等式等为主体的考查内容，基本没有区别。考试内容上主要增加了选修系列4的3个专题作为选考内容。从考试范围而言比安徽卷更广了，从试卷难度而言也略有增加。

　　通过对近5年新课标全国卷的研究和归纳可以发现，全国卷的试卷结构和题型的设置还是相对稳定的。现做出以下简单归纳供其参考。

　　选择题和填空题考查内容和题量:

　　解答题主要考查内容有：数列、立体几何、概率与统计、解析几何、导数及其应用。其中对数列的考查放到了解答题的第1题，由此看出数列在高考中的难度有了较大的降低。解析几何和导数主要放在后两题压轴。另外新课标全国卷比安徽卷的解答题少一题，通过比较发现解答题中少了对三角函数和解三角形知识点的考查，对这两个知识点的考查主要放在了选择和填空中。

　　选考内容是新课标全国卷与安徽卷的最大区别。三选一看似给考生带来了很大的自主选择空间，可以挑自己拿手的做，实质上在考试时是会给不少学生带来困惑。首先要浏览三道题进行难易鉴别，若在选题时犹豫不决，这些都将会浪费大量的时间。其次有的题目看似简单实则不易，若选错题将会无功而返。

　　三、附：新课标全国卷考试说明中选考内容与要求

　1. 几何证明选讲

　　(1)了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理。

　　(2)会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

　　(3)会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

　　(4)了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影，会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。

　　(5)了解定理：在空间中，取直线L为轴，直线L′与L相交于点O，其夹角为α， 围绕L旋转得到以O为顶点，L′为母线的圆锥面。任取平面π，若它与L轴交角为β(π与L平行，记β=0)，则：

　　① β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆。

　　② β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线。

　　③ β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

　　(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球证明上述定理①的情形：当β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆。

　　(7)会证明以下结果：

　　① 在(6)中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行。记这个圆所在平面为π′。

　　② 如果平面π与平面π′的交线为m，在(5)①中椭圆上任取一点A，改丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率)。

　　(8) 了解定理(5)③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果。

　2. 坐标系与参数方程

　　(1)坐标系

　　①理解坐标系的作用

　　②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变换情况。

　　③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

　　④能在极坐标系中给出简单图形的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标中的方程，理解用方程表示平面图片时选择适当坐标系的意义。

　　⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。

　　(2)参数方程

　　①了解参数方程，了解参数的意义。

　　②能选择适当的参数写出直线、圆与圆锥曲线的参数方程。

　　③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。

　　④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

　3.不等式选讲

　　(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

　　①|a+b|≤=|a|+|b|.   

　　②|a-b|≤|a-c|+| c-b|.

　　③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

　　| ax+b |≤ c ；  | ax+b |≥c；  | x-a |+| x-b |≥c.

　　(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明：

　　①柯西不等式的向量形式： .

　　② （a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2.

　　③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(此不等式通常称为二维形式的三角不等式。)

　　(3)用参数配方法讨论柯西

不等式的一般情形：

　　(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。

　　(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。

　　(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式： （1+x）n＞1+nx（x＞-1，x≠0,n 为大于1的自然数），了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

　　(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

　　(8)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

　　四、高考复习备考建议

　　1.选修4系列的课该怎么上，是都上还是选上？这是一个新问题，在高考中该如何对选考题进行取舍还需一线教师平时多研究多探讨，将方法教给学生。

　　2.深入研究新课标全国卷《考试说明》和安徽卷《考试说明》在各个知识点上要求的变化，弄清各个知识点考查的能力层次，把握高考复习方向，明确重点、难点，突破学生知识盲点和易错点。

　　3.抓好常规课堂教学，注重基本知识，基本技能的教学。引导学生自主进行知识的梳理、总结基本方法，培养学生构建知识网络的意识和习惯，完善学生的认知结构。

　　4.关注通法通性，在日常教学中不搞偏题怪题。在复习过程中可以将近几年的新课标全国卷的试题作为练习或分解到课堂教学中。

　　5.注重数学思想的渗透和思维能力培养。高三的复习课特别是第一轮复习，不能只追求课堂容量，应多给学生思考的时间，多让学生暴露思维的误区，让学生在合作学习中纠正错误的认识。

　　6.团结协作提高效益，在高考复习中应团结一致，协作分工，群策群力，实现资源共享，形成最大合力，促进共同提高。

                                               （祝志好老师编审）