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例谈“微元法”在高中新课标教材(必修)中的渗透与在解题中的应用

物理组  杨振久


 

摘  要:自然界中,大量微小单元组成了一切宏观物体,如细胞是生命活动的基本单元。从物理的角度看,物体的整体性质往往存在于局部之中,即共性存在于个性。微元法,便以此为凭,将研究对象或其运动过程分割成一个个微小的单元-----微元,然后选取某一微元进行分析和研究,达到“化变为恒,化曲为直”的目的,使变量成为恒量,使相对较难确定的量转变为较为容易确定的量,进而解决问题。对于广大高中生,微元法不失为一种巧妙、高效的好方法。但它较为抽象,难理解,且对数学知识的要求比较高,因此不少学生望而兴叹。本文旨在通过对“微元法”在高中物理新课标教材(人教版)中的渗透及在解题中的应用例谈,以帮助大家深入理解和掌握这种方法。

关键词:新课标教材  渗透  微元法  应用

一、“微元法”在教材(人教版)中的渗透三例:

1、必修一第一章第35节对“瞬时速度”、“瞬时加速度”概念的引入。

课本从tt+t这段时间间隔内,△t越小,质点位置变化快慢或速度变化快慢的差异也就越小,运动快慢的描述或速度变化快慢的描述就越精确。推想若△t趋向于零,就可以认为△t内的平均速度或平均加速度即可看成是t时刻的瞬时速度或瞬时加速度。

2、必修一第二章第3节对匀变速直线运动的位移公式xv0tat2的推导。

推导此公式,不能简单的直接用x=vt,因为速度v随时间t在变化(vv0at.)。但是如果把整个过程的时间看成是由无数微小的时间间隔△t组成的,△t内速度的变化量△v就非常非常小,若令△t趋向于零,即可以认为速度几乎不变,此时就可将每一份按匀速直线运动来处理,然后再累加即可。正是这种无限分割的方法,可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。

3、必修二第五章第45节对物体沿任意路径向下滑行时重力做功和弹簧的弹力做功问题的研究。

1、重力做功:先将物体运动的路径分成许多很短的间隔ΔL,每一段ΔL都很小,因而可以将ΔL近似看作一段直线,利用功的定义式计算出每一小段内重力的功(元功),再累加得到重力的总功。计算难点:质点运动路径是曲线而非直线;教材处理方法:化曲为直的微元思想。

2、弹力做功:先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段ΔL,在ΔL趋向于零的情况下,每一小段位移中可以认为拉力是不变的,然后利用功的定义来计算元功,再累加得到总功。             

计算难点:弹簧的弹力是变力而非恒力;教材处理方法:化变为恒的微元思想。

感悟:尽管“微元法”思想在教材中没有明确提出,但它却渗透和运用于具体问题的处理中。作为教师,我们应加强该思想在解题中的应用教学。

二、“微元法”在解题中的应用举例。

沿图示方向旋转时,环中的张力等于多少?                                                              

解:对圆环的长度微元,即将圆环无限分割,每一个微段即为长度元ΔL,其对应的圆心角为Δθ )。设此长度元的质量为△m,带电量为q. 此长度元ΔL受力如图2所示,张力为T,洛仑兹力为f.

    设环中张力T的合力为F,则

           

很小时, =    则有:               

由牛顿第二定律得:

        ②                                    

   ③                        

                                                                                                                                                      

由①、②、③、④得:

  .                                 

很小时,通常取 ,这在微元法解题中是常用的等式。

1               2          

反思:以上例题,解题时通过对面积微元,然后定量分析,得出普遍的结论。

(二)对质量微元(Δm

例、求证,在某施工现场中的沙堆,不管进行怎样的堆砌,它的锥角始终保持不变,如果圆锥底部的周长为12.1米,高为1.5米,求在这一堆黄沙之中的动摩擦因数μ为多少?

,求物体A运动的速度.

    解:对时间微元,取极短的时间元 ,物体A运动到如图7中的虚线位置.从B'B' EBD,交点为E。由图7可知,物体A运动的距离为

                 

在△DEB'中,由于 极小,可认为DB' = DE.则绳头运动的距离为

           s=(DB+BB'-DB'

DE+BE+BB'-D B'

BE+ BB'.    ②

而在△BEB'

BEBB' .        

由②、③得   S= BB'(1 )                               

   .       ④                           

    设物体速度为 ,则                                                                                                                              

      BB'= .    

由①、②、③、④、⑤得,物体A运动的即时速度为

来研究,则可将变速运动视为匀速直线运动,问题便迎刃而解。

(四)对面积微元(

例、一个带电量为 的金属球壳,证明:球壳内部任一点的电场强度等于零.

证明:带电金属球壳处于静电平衡时,电荷均匀分布在球壳的外表面上,单位面积所带电量为

 (电荷的面密度)    

如图9所示,在球内任取一点A,以A为顶点任作两个微小的正四棱锥体,这两个椎体对角。在球面上截得两个面积元 ,过A作两正四棱锥的高分别交球面于BC两点.设 ,则面积元 A点产生的合场强为    

    ②                            

    设正四棱锥体一侧面与高的夹角为 ,则                              

       ③  

      ④

,                   ⑤

  

将⑥代入②得: .

    若选取其它面积元,也可得到同样的结果。从而可知,球内任一点的场强等于零.

思考:将重力场类比电场,同样可以证明在均匀球壳内的任一点放一物体,球壳对此物体的万有引力为零。

 图9

反思:以上例题,直接求解比较困难,不妨对面积微元,通过对面积元的定量分析,从特殊到一般,从而得出较为普遍的结论。

小结:
从“微元法”在高中物理新课标教材中的渗透及在解题中的应用,可以看出“微元法”是一种非常重要的解题方法,对于高中物理解题意义重大。
微元法解题的关键,一是如何选择恰当的微元,二是如何对微元作恰当的物理和数学的处理。运用“微元法”解题的一般步骤为:一、要选择恰当的微元作为局部研究对象。当然微元应具有整体对象的基本特征;二、将微元模型化,如质点、匀速直线运动、点电荷等,并运用相关物理知识求解此微元;三、将一个微元的求解结果推广到多个微元,然后对各个微元的求解结果累加,最终给出整体量的解答。

由此可见,“微元法”是一种深刻的思维方法,能够较好地培养学生的细致思考能力和极限思维能力。而现行教材没有明确解析,所以,教师要善于挖掘教材,要对教材渗透的思想方法给予足够的关注,并归纳、总结和运用,把学生不易掌握的一类思想方法讲彻讲透,让学生领悟到位。学生只有深入理解了“微元法”思想,遇到此类问题,才不会畏惧,才能得心应手,从容作答。

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发布时间:2017-06-06 15:00:19
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